Sistem Bilangan

    Teori tentang bilangan sering disebut "the queen of math". Sub ilmu ini sangat penting karena menjadi dasar bagi teori-teori lain pada bilang matematika.

    Terdapat setidaknya 4 sistem bilangan yang populer digunakan oleh masyarakat dunia. Bilangan-bilangan tersebut adalah:

1. Bilangan Biner (Binary)

    Bilangan ini hanya memiliki dua simbol bit (binary digit) yaitu 0 dan 1 yang dapat merepresentasikan segala hal yang memiliki dua kondisi berbeda.

 

2. Bilangan Oktal (Oct)

    Adalah bilangan basis 8 yang memiliki 8 buah simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Bilangan oktal dapat diperoleh dari kumpulan 3 bit bilangan biner.

 

3. Bilangan Desimal (Denary)

    Desimal berasal dari bahasa latin, ‘deci’, yang artinya puluhan. Terdapat 10 simbol bilangan yang digunakan sebagai lambang dalam sistem bilangan desimal yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Dalam sistem bilangan desimal, untuk membangun bilangan yang lebih besar, dilakukan dengan cara menggabungkan beberapa simbol bilangan misal 11, 21, 123, 2022, dan seterusnya.

 

 

4. Bilangan Heksadesimal

    Hex dalam bahasa yunani artinya 6. Bilangan ini adalah bilangan berbasis 16 yang memiliki 16 simbol yang berbeda yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F. Bilangan heksadesimal dapat diperoleh dari kumpulan 4 bit bilangan biner.

 

Bobot Kolom

    Setiap kolom pada masing-masing bilangan di atas memiliki bobot sesuai basisnya.

• Bilangan biner memiliki bobot 2x dari kolom sebelah kanannya,
• Bilangan oktal memiliki bobot 8x dari kolom sebelah kanannya,
• Bilangan desimal memiliki bobot 2x dari kolom sebelah kanannya,
• Bilangan heksadesimal memiliki bobot 2x dari kolom sebelah kanannya.

 

Penulisan Sistem Basis/Radix

Suatu nilai bilangan ditentukan oleh basis/radix bilangan yang digunakan. Penulisan baris bilangan adalah dengan menuliskan angka basis dalam huruf kecil (subscript) sesudah bilangannya.

Contoh:

1001₂     = Bilangan 1001 pada basis biner

13₈          = Bilangan 13 pada basis oktal

10₁₀        = Bilangan 10 pada basis desimal

2AC₁₆     = Bilangan 2AC pada basis heksadesimal

 

Konversi Bilangan

1.  Biner

1.1. Biner ke Oktal

Contoh:

11001101₂ = ...₈

Jawab:

101₂       = 5₈ 

001₂       = 1₈ 

(0)11₂    = 3₈

Jadi, 11001101₂ = 315₈

 

1.2. Biner ke Desimal

Contoh:

110₂ = ...₁₀

Jawab:

110₂       = (0 x 2)⁰ + (1 x 2)¹ + (1 x 2)²

= 0 + 2 + 4

= 6₁₀

 

1.3. Biner ke Heksadesimal

Contoh:

11001101₂ = ...₁₆

Jawab:

1101₂     = 13₁₆    = D₁₆

1100₂     = 12₁₆    = C₁₆

Jadi, 11001101₂ = CD₁₆

  

2. Oktal

2.1. Oktal ke Biner

Contoh:

147₈ = ...₂

Jawab:

7₈            = 111₂

4₈            = 100₂

1₈            = 001₂

Jadi, 147₈ = 001100111₂

 

2.2. Oktal ke Desimal

Contoh:

137₈ = ...₁₀

Jawab:

137₈       = (7 x 8)⁰  + (3 x 8)¹ + (1 x 8)²

                = 7₁₀ + 24₁₀ + 64₁₀

                = 95₁₀

 

2.3. Oktal ke Heksadesimal

Oktal > Biner > Hexadesimal

Contoh:

725₈ = ...₁₆

Jawab:

5₈            = 101₂

2₈            = 010₂

7₈            = 111₂

Jadi, 725₈ = 111010101₂

0101₂     = 5₁₆

1101₂     = 13₁₆    = D₁₆

(000)1₂  = 1₁₆

Maka, 111010101₂ = 1D5₁₆

 

3.  Desimal

3.1. Desimal ke Biner

Contoh:

125₁₀ = ...₂

Jawab:

125/2     = 62 sisa bagi (mod) 1

62/2       = 31 sisa bagi (mod) 0

31/2       = 15 sisa bagi (mod) 1

15/2       = 7 sisa bagi (mod) 1

7/2         = 3 sisa bagi (mod) 1

3/2         = 1 sisa bagi (mod) 1

Jadi, 125₁₀ = 1111101₂

 

3.2. Desimal ke Oktal

Contoh:

70₁₀ = ...₈

Jawab:

70/8       = 8 sisa bagi (mod) 6

8/8         = 1 sisa bagi (mod) 0

1/8         = 0 sisa bagi (mod) 1

Jadi, 70₁₀ = 106₈

 

3.3 Desimal ke Heksadesimal

Contoh:

23600₁₀ = ...₁₆

Jawab:

23600/16              = 1475 sisa bagi (mod) 0

1475/16                = 92 sisa bagi (mod) 3

92/16                     = 5 sisa bagi (mod) 12 (C)

Jadi, 23600₁₀ = 5C30₁₆

 

4. Heksadesimal

4.1. Heksadesimal ke Biner

Contoh:

A7F₁₆ = ...₂

Jawab:

F₁₆          = 15₁₆    = 1111₂

7₁₆                          = 0111₂

10₁₆                        = 1010₂

Jadi, A7F₁₆ = 101001111111₂

 

4.2. Heksadesimal ke Oktal

Hexadesimal -> Biner -> Oktal

Contoh:

1D5₁₆ = ...₈

Jawab:

5₁₆                          = 0101₂

D₁₆          = 13₁₆    = 1101₂

1₁₆                          = 0001₂

Jadi, 1D5₁₆ = 000111010101₂

101₂       = 5₈

010₂       = 2₈

111₂       = 7₈

000₂       = 0₈

Maka, 1D5₁₆ = 725₈

 

4.3. Heksadesimal ke Desimal

Contoh:

79AF₁₆ = ...₁₀

Jawab:

79AF₁₆   = (F x 16)⁰ + (A x 16)¹ + (9 x 16)² + (7 x 16)³

                = (15 x 16)⁰ + (10 x 16)¹ + (9 x 16)² + (7 x 16)³

                = 15₁₀ + 144₁₀ + 2560₁₀ + 28672₁₀

                = 31391₁₀

Teori Cinta Segitiga

• Antara bilangan heksadesimal dan octal tidak bisa langsung dikonversi
• Kedua bilangan tersebut sebenarnya sama-sama berbasis 2 namun memiliki kepangkatan berbeda
• Untuk itu perlu bilangan biner sebagai ‘pengayomnya’
• Hubungan ini dianalogikan sebagai ‘Cinta Segitiga’

 

Langkah:

1. Konversikan ke biner
2. Hasil biner, dikurung dari belakang sesuai dengan sistem bilangan yang dikehendaki (heksadesimal 4, oktal 3)
3. Konversikan biner ke nilainya

 

Penjumlahan bilangan biner

Contoh:

Jumlahkan 0101₂ + 1101₂

Jawab:

      1       ß Simpan/carry

0 1 0 1   (5₁₀)

1 0 0 1   (9₁₀)

--------- +

1 1 1 0   (14₁₀)

 

Overflow

    Operasi dalam sistem digital biasanya menggunakan jumlah digit yang tetap. Misalkan 4-bit hanya mampu menampung bilangan dari 0 sampai 15. Penjumlahan yang menghasilkan 5 bit tidak dapat ditampung dengan 4 bit sehingga bit terakhir yang paling kiri (most significant bit) akan dibuang. Kelebihan jumlah digit tersebut disebut overflow. Overflow dapat dideteksi dengan memeriksa carry pada bit paling kiri (mbs).

 

Contoh:

Hitunglah 10112 + 01112

Jawab:

1 1 1 1   ß Simpan/Carry

    1 0 1 1

    0 1 1 1

------------- +

1  0 0 1 0

 

    Hasilnya yang berupa 10010 menunjukkan overflow karena jumlah bit hasilnya melampaui 4 bit. Jika hasilnya harus disimpan dalam 4 bit maka mbs-nya harus dibuang sehingga sisanya adalah 0010. Namun nilai tersebut akan menjadi salah. Jika hasil perhitungan disimpan dalam penyimpanan yang terdiri dari 5 bit maka hasilnya 10010 akan benar.

Referensi

Abdurrohman, M. 2017. Organisasi dan Arsitektur Komputer, ed-rev ke-4. Bandung: Penerbit Informatika.

Cara Konversi Bilangan Desimal ke Bilangan Oktal dan sebaliknya - Teknik Elektronika

Hendradi, P. 2014. PPT Teori Cinta Segitiga Untuk Konversi Sistem Bilangan Biner, Hexadesimal, dan Octal.

KONVERSI BILANGAN BINER, OCTAL, DESIMAL, HEXADESIMAL – Math is My Life (unnes.ac.id)